Геометриялық прогрессия

9 - класс. Алгебра
Сабақтың тақырыбы: Геометриялық прогрессия
Сабақтың мақсаты:
Білімділік: Геометриялық прогрессияның анықтамасын білу, геометриялық прогрессияның рекурентті формуласын жалпы түрде жаза білу, кез - келген көршілес мүшелерінің қатынасы арқылы еселігін таба білуді қалыптастыру.
Тәрбиелік: Өз бетінше еңбектенуге тәрбиелеу, СКТ технологиясын қолдануға тәрбиелеу.
Дамытушылық: Ізденімпаздықтарын, ойлау қабілеттерін дамыту.

Сабақ түрі: Жаңа білімді қалыптастыру.
Оқыту әдісі: СКТ, деңгейлік
Көрнекілігі: Плакат, интерактивті тақта.

Сабақ барысы:
І. Ұйымдастыру
ІІ. Үй тапсырмасын тексеру.§12. Арифметикалық прогрессияның алғашқы т мүшесі қосындысының формуласы.№247; 250; 253(2)
ІІІ. Жаңа тақырыпты меңгерту.§13. Геометриялық прогрессия.

ІV. Сабақты бекіту. 1)№279(1 - 6)- ауызша
2) Мысалдар

V. Жаттығуларды орындау.
Сыныпта:№265(2 - 6); 266(3 - 6); 268(3 - 6); 272(3 - 6); 274(1); 275(3)- есептер нұсқаларға бөлініп, білім деңгейі әр түрлі оқушылардың орындалуына беріледі.
VI. Үйге тапсырма. 13. Геометриялық прогрессияның анықтамасы және жалпы мүшесінің формуласы.:№265(1); 266(1 - 2); 268(1 - 2); 272(1 - 2); 274(2); 275(1)
Математикаға ынталы оқушыларға №286(1); 287; 289(2); 290
VII. Сабақты қорытындылау.§13
VIII. Бағалау.

Геометриялық прогрессияның анықтамасы, жалпы мүшесінің
формуласын СКТ
1. Анықтама.
1) 1, 2, 4, 8,...; 2) 5; 25; 125: 625:...; 3) 0; 2;- 0, 6; 1, 8;- 5, 4;...;
b1≠0; ал b2 - ден бастап кез - келген мүшесі өзінің алдындағы мүшені
нөлден өзгеше тұрақты санға көбейткенде шығатын сандық тізбек
геометриялық прогрессия деп аталады.

2. Тану.
2. 1. Жазылуы b1, b2, b3,.... bn
b1 ≠0 b2: b1= b3: b2=… =bn+1: bn=q
b2=b1q
b3=b2q=(b1q) q=b1q2
b4=b3q=(b1q2) q=b1q3
bn=b1*q^(n - 1)
- геометриялық прогрессияның жалпы мүшесінің
формуласы.
2. 2. Оқылуы. Геометриялық прогрессияның b1 - бірінші мүшесі, bn - n - ші
мүшесі, q - еселігі.

2. 3. Мағынасы: 1) Геометриялық прогрессия берілу үшін – b1 және
еселігі - q берілу керек. b1≠0
2) Геометриялық прогрессияның bn мүшесі b1 - ді q еселігінің (n - 1)
дәрежесіне көбейткенге тең.

2. 4. Математикалық белгі. b1, b2, b3,... bn, b1 ≠0.
b1≠0.
bn=b1*q^(n - 1)
2. 5. Шығу тарихы.
Ежелгі замандардан бастап адамзат арифметикалық және геометриялық прогрессиялардың заңдылықтарын қолдана білген. Мәселен, біздің заманымызға дейінгі ежелгі вавилондықтардың сына жазу (клинопись) кестелерінде, ежелгі мысырлық және гректердің папирустарында арифметикалық және геометриялық прогрессияларға көптеген мысалдар кездеседі. Ежелгі грек ғалымдары прогрессиялардың кейбір қасиеттерін және олардың қосындысын таба білген. Архимед(б. з. б. 3ғ) фигуралардың аудандары мен денелердің көлемдерін есептеуде сан тізбегінің бірнеше мүшелерінің қосындысын таба білген. Ежелгі замандардан геометриялық прогрессия мүшелерінің еселігі 1 - ден үлкен болғанда (g>1) өте жылдам қарқынмен өсетіндігі жөнінде мынадай аңыз сақталған. Мәселен, ежелгі үнді патшасы Шерам шахмат ойынын ойлап тапқан өнертапқышты (оның аты Сета) марапаттау мақсатында оған қалағанын алуды ұсынады. Сонда Сета шахмат тақтасындағы 64 шаршының біріншісіне - 1 дән, екіншісіне - 2 дән, үшіншісіне – 4 дән, төртіншісіне – 8 дән және т, с, с., яғни әрбір шаршыға алдыңғысынан 2 есе көп дән беруді өтінеді. Алғашында патша өнертапқыштың бұл << тым болмашы >> тілегіне таң қалып, оны орындауға бұйрық бергенімен, артынша бұл тілектің орындауға өз қазынасының қауқарсыз екеніне көзі жетеді. Шынында да, өнертапқыш сұраған дәндер саны 1+2+22... 263 қосындысына тең, ал бұл қосынды 18 446 744 073 709 551 615 санына тең. Егер бір пұт астықта 40000 дән бар десек, онда бұл тілекті орындау үшін 230 584 300 921 369 пұт астық қажет екен. Қазақстанда бір жылда жиналған астық мөлшері орта есеппен 1 000 000 000 пұтқа тең десек, онда бұл тілекті орындау үшін еліміз ішпей - жемей 230 584 жыл еңбек етуі қажет.

3. Маңызды түйін.
3. 1. Мүшелері тұрақты бір ғана сан болатын 4, 4, 4,... тізбегін, еселігі q=1
болатын геометриялық прогрессия ретінде қарастырса болады. Бір ғана мүшесінің берілуімен анықталатын геометриялық прогрессия тұрақты деп аталады.
3. 2. b1>0 және q0; q=- 20, q>0 болса онда мүшелері оң болатын геометриялық прогрессия шығады.
Мысалы: 2; 8; 32;....; ---------------- b1=2; q=4
4. Қасиеті.
Егер барлық мүшелері оң сан болатын геометриялық прогрессия берілсе, онда кез - келген қатарлас үш мүшесінің ортаңғысы қалған екеуінің геометриялық орташасына тең.
bn, bn+1, bn+2 – қатарлас мүшелері үшін bn+1: bn=bn+2: bn+1

5. Есептер. Геометриялық прогрессия анықтамасы, жалпы мүшесін, еселігін табуға есептер.
5. 1. b1=81; q=1/3; т/к: b7
b7=b1q6=81*(1/3)^6=81/729=1/9 ------------------ Жауабы: b7=1/9
5. 2. 2/3; 2; 6; 18; 54;... q=?; bn=?
q=2: 2/3=3; bn=b1q^(n - 1)=2/3*3^(n - 1)=2*(3^(n - 2)) ----------------- Жауабы: q=3; bn=2*(3^(n - 2))
5. 3. 1/16 саны 16; 8; 4;...- геометриялық прогрессияның нешінші номерлі мүшесі екенін анықтаңдар.
b1=16; q=1/2; 1/16=16*(1/2)^(n - 1);(1/2)^8=(1/2)^(n - 1) n - 1=8, n=9
Жауабы: 9 - мүшесі