Стандартты емес планиметрия есептерін шығару тәсілдері

Есеп шығару – ерекше ой жұмысы. Кез келген шарттардан және талаптардан тұратыны белгілі. Есеп шығару дегеніміз – математиканың жалпы заңдылықтарын (анықтамалар, аксиомалар, теоремалар, заңдар, формулалар) есеп шартына немесе оның салдарына белгілі бір ретпен қолдана отырып, есеп талабына жауап беру болып табылады. Сонымен есеп шығару, оның шартына белгілі бір математикалық ережелерді сәйкес түрде қолдана отырып, талабына қарай жылжитын ой қозғалысы.
Теорияға байланысты стандартты және стандартты емес есеп түрлері белгілі. Дайын ережелердің көмегімен шығарылатын есептер стандартты делінеді де, ал шығару жолдары дайын ережелер арқылы табыла қоймайтын есеп – стандарттық емес болып табылады.

Қандай да болмасын есепті шығаруды негізгі төрт кезеңге бөлуге болады:
1. Есептің шарты мен талабын терең түсіну. Есепті дұрыс түсініп алмай, оны әрі қарай жалғастыру мүмкін емес. Есеп шығаруға кіріспес бұрын оның мазмұнына талдау жасап, не берілгенін, нені табу керек екендігін анықтап алған қажет. Бұл тұста ұқыпты сызылған сызбалардың немесе сүлбелердің маңызы зор. Есептің берілген не ізделінді элементтері белгіленбеген болса, онда ыңғайлы белгілеулер енгізу керек.

2. Есепті шығарудың жоспарын құру. Бұл – шешуші кезең. Шығару жоспары дұрыс құрылғанда ғана есеп қатесіз шығарылады. Жоспар құру үшін есеп шығарудың негізгі «кілтін» ұсынатын идеяларға байланысты сұрақтар мен ақыл-кеңестер жүйелі түрде құрылғаны орынды:
- осы сияқты бұрын кездескен есептерді қарастыру. Екі есептің берілген жағдайын салыстыру;
- шығарылатын есепке ұқсастау есептің жоспарын басшылыққа алу;
- есепке жақындайтын бұрыннан белгілі есеп табылмаған жағдайда есеп шартындағы ұғымдардың анықтамасын пайдалану, қасиеттерін еске алу; есеп шарты мен талабын математикалық тілге көшіру,
- есеп жоспарын құру кезінде берілгендерінің барлығын қолдану,
- есеп шарты немесе талабын түрлендіру,
Жоспар бойынша

3. Жоспарды жүзеге асыру;
4. Есепті тиянақтау. Жоспар жүзеге асырылған соң, онымен тынып қалмай есеп шығару порцесін тағы да ой елегінен өткізу керек. Міндетті түрде нәтиже мен шығару жолы тексеріледі. Онымен қоса «Есепті шығарудың басқаша жолы бар ма?», «нәтижені басқаша қалай алуға болады?» т.б. сұрақтарға жауап іздеп, тиянақтаған дұрыс.

Мектеп планиметрия курсына сәйкес стандартты емес есептерді шығарудың жолдарын қарастырайық.
1 есеп. АВ хордасы шеңбердің 120º доғасын кереді. С нүктесі осы доғаның бойында, ал D нүктесі АВ хордасында жатады. Мұндағы АВС үшбұрышының ауданын тап.
Шешуі. О нүктесі – шеңбердің центрі, R радиусы болсын. (1 сурет).
Онда
болса, онда , осыдан Сондықтан
Осыдан ОDС ышы тік бұрышты екендігі шығады. және
Онда
СМ - АСВ үшбұрышының биіктігі болсын. Сонда осыдан
Жауабы:

2 есеп. Центрлері бір түзудің бойында жатпайтын, өзара қос-қостан қиылысатын жазықтықта жатқан үш шеңбер берілген. Осы шеңберлердің әрбір жұбының ортақ үш хордасы бір нүктеде қиылысатынын дәлелде.
Дәлелдеуі.
шеңберлері В нүктесінде, шеңберлері C және D нүктелерінде, ал шеңберлері E және F нүктелерінде қиылысатын болсын. (2 сурет). Егер М нүктесі кесінділерінің қиылысу нүктесі болса, онда хордалардың қиылысу кесіндісі туралы теорема бойынша А және М нүктелері арқылы
шеңберін екінші рет В1 нүктесінде қиятын түзу жүргіземіз. Онда шеңберінің АВ1 және EF хордалары М нүктесінде қиылысады, сондықтан Демек, А, В, С және D нүктелері бір шеңбердің бойында жатады. А, С және D нүктелері арқылы бір ғана шеңбері өтетіндіктен, В1 нүктесі А нүктесінен өзге шеңберлерінің ортақ нүктесі болады. Демек В1 нүктесі В нүктесімен беттеседі.Осыдан АВ хордасы ордаларының қиылысу нүктесі М арқылы өтеді.
Дәлелдеу керегі осы болатын.

3 есеп. бесбұрышы шеңберге іштей сызылған. А нүктесінен ВС, DC және DE түзулеріне дейінгі қашықтық сәйкесінше a, b, c –ға тең. А нүктесінен ВЕ түзуіне дейінгі қашықтықты тап.
Шешуі:
А нүктесінен BC, DC, DE және BE түзулеріне түсірілген перпендикулярлардың табаны сәйкесінше болсын. үшбұрышы үшбұрышына ұқсас екендігін дәлелдейік. (3 сурет).Шындығында

нүктелері диаметрі АВ болатын шеңбер бойында жатады, ал нүктелері диаметрі АD болатын шеңбер бойында жатады.
Сондықтан Дәлелдеуімізден екендігі шығады. Бұдан болатынын табамыз.
Жауабы:

4 есеп. Шеңбер бойындағы нүктеден осы шеңберге іштей сызылған дұрыс үшбұрыштың төбелеріне дейінгі қашықтық нүктенің шеңбер бойында орналасу жағдайына байланысты болмайтын тұрақты шама екендігін дәлелде.
Шешуі: М нүктесі –АВС дұрыс үшбұрышы іштей сызылған шеңбердің С нүктесі жатпайтын АВ доғасының бойынан еркін алынған нүкте болсын (4 сурет).
деп белгілейік.

Бізге белгілі теңдігін пайдаланайық. болатындықтан, косинустар теоремасы бойынша үшбұрышынан табатынымыз: немесе
екендігін пайдалансақ, онда
Косинустар теоремасы бойынша үшбұрышынан табатынымыз: осы теңдеудегі орнына қойып, мына теңдікті аламыз: Сонымен шеңбер бойынан еркін алынған нүктеден осы шеңберге іштей сызылған дұрыс үшбұрыш төбелеріне дейінгі қашықтық – тұрақты шама.

5 есеп. АВС үшбұрышына іштей сызылған шеңбер ВМ медианасын тең үш бөлікке бөледі. қатынасын тап. Іштей сызылған шеңбердің үшбұрыштың АС, ВС және АВ қабырғаларымен жанасу нүктелері сәйкесінше К, L, N болсын. Үшбұрыштың ВМ медианасы мен шеңбердің қиылысу нүктелерін F, Q деп белгілейік. (Ғ нүктесі B және Q нүктелерінің ортасында жатады). (6 сурет).
К нүктесі М және С нүктелерінің ортасында жатыр деп ұйғарайық. Сонда
Сондықтан
Осындай тәсілмен сондай-ақ болса, онда

ВМ медианасын АВС үшбұрышының қабырғалары арқылы өрнектейік.
немесе
Осы теңдеуді шешу арқылы табатынымыз:
Сонда
осыдан алатынымыз:

6 есеп. D нүктесі АВС үшбұрышының АС қабырғасында жатыр. АВD үшбұрышына іштей сызылған радиус -ке тең шеңбер АВ қабырғасын М нүктесінде, ал ВСD үшбұрышына іштей сызылған радиус - ке тең шеңбер ВС қабырғасын N нүктесінде жанап өтеді. екені белгілі болса, онда АВС үшбұрышының қабырғаларын тап.
Шешуі:

Шеңберлердің центрлерін О1 және О2 деп, ал олардың АС қабырғасымен жанасу нүктелерін ал P және Q, BD қабырғасымен жанасу нүктелерін E және F деп белгілейік. деп алайық. (6 суретті қараңыз).
Сонда
Осыдан болғандықтан Сондықтан Осы теңдеулерді мүшелеп көбейтеміз. Жалпы . Осыдан деп аламыз. (екінші түбір сәйкес келмейді). Сондықтан, деп белгілеп алайық. BDC үшбұрышынан косинустер теоремасы бойынша табатынымыз: Осыдан болатындығын дәл осылай табамыз. Бұдан шығатыны:

7 есеп. АВС үшбұрышының ВС қабырғасы 4 ке, АВ қабырғасы тең. Үшбұрыштың қабырғаларының ортасы арқылы өтетін шеңбердің центрі С бұрышының биссектрисасында жататыны белгілі. АС қабырғасын тап.
Шешуі: Үшбұрыштың ВС, АС және АВ қабырғаларының орталары сәйкесінше А1, В1 және С1 болсын. О – шеңбердің центрі, . болатын болса, онда Осыдан берілген шеңбердің радиусі мен А1В1С үшбұрышына сырттай сызылған шеңберлердің радиустары тең болады. ОС түзуі екінші шеңберді М нүктесінде қиып өтетін болсын дейік. Онда (м нүктесі АСВ биссектрисасында жатады). Сондықтан, О және М нүктелері беттеспейтін болса, онда ал СО – АСВ бұрышының биссектрисасы болатындықтан, СА=CB және AC=BC=4. Бұл жағдайда Ал бұлай болуы мүмкін емес. Демек, О және М нүктелері беттеспейді деген ұйғарым дұрыс емес. Олай болса, екінші шеңбердің центрі біріншісінде жатады. Онда яғни және деп белгілейік. Сонда косинустер теоремасы бойынша Осы теңдеуді шешіп, екендігін аламыз. Жауабы: 10.

8 есеп. Үшбұрыштың биіктіктерінің табандарын қосатын кесінділер 8, 15 және 17 ге тең. Үшбұрышты сырттай сызылған шеңбердің радиусын тап.
Шешуі:
Бірінші тәсіл. АВС үшбұрышының биіктіктері AD, DE және CF болсын.
болғандықтан, DEF үшбұрышы тікбұрышты, (8 сурет). АВС үшбұрышының С бұрышын деп белгілейік. Сонда CDE үшбұрышы екі бұрышы бойынша CAB үшбұрышына ұқсас болады, ұқсастық коэффициенті

CDE мен CAB үшбұрыштарын сырттай сызылған шеңберлердің радиустары болсын. Сонда
Осыдан шығатыны:
Жауабы: 17.
Екінші тәсіл. АВС үшбұрышының ВС, АС және АВ биіктіктерінің қиылысу нүктесі Н және осы биіктіктер созындыларының үшбұрышты сырттай сызылған шеңбермен қиылысу нүктелері сәйкесінше Н1, Н2, Н3 болсын. Н нүктесімен Н1, Н2 және Н3 нүктелерінің бейнелері ВС, АС және АВ түзулеріне қарағанда симметриялы болады (8 сурет). Ізделінді радиус Н1Н2Н3 үшбұрышын сырттай сызылған шеңбердің радиусына тең болады. Бұл үшбұрыш ұқсастық коэффициенті 2 болатын FDE үшбұрышымен ұқсас болады.Демек, Н1Н2Н3 үшбұрышы тік бұрышты, оның гипотенузасы Н2Н3 34-ке тең, осыдан сырттай сызылған шеңбердің радиусі 17-ге тең болады.
Жауабы: 17.

9 есеп. АВС үшбұрышына әрқайсысы үшбұрыштың екі қабырғасымен жанасатын өзара тең үш шеңбер іштей орналасқан. Ұш шеңбердің ортақ бір нүктесі бар. Егер осы үшбұрышты сырттай және іштей сызылған шеңберлердің радиустары R және r болса, онда осы үш шеңбердің радиусын тап.
Шешуі: сәйкесінше А, В және С бұрыштарына іштей сызылған шеңберлердің центрлері, М – олардың қиылысу нүктесі, х - ізделінді радиус болсын. шеңберлерінің радиусі х болғандықтан

Екінші жағынан
Сондықтан Осыдан
Жауабы:

10 есеп. Дөңес төртбұрыштың ауданы осы төртбұрыштың қабырғаларының орталары төбелері болатын төртбұрыштың ауданынан екі есе үлкен болатынын дәлелде.
Шешуі:
Берілген ABCD төртбұрышының қабырғаларының орталары E, F, K, L болсын. (10 сурет). ABC үшбұрышының EF орта сызығы одан BEF үшбұрышын қиып түседі, оның ауданы ABC үшбұрышының ауданының . Осы сияқты Бұл теңдіктерді мүшелеп қосып, мынаны аламыз: . Дәл осылайша болатынын дәлелдейміз. Сонымен ABCD төртбұрышынан EFKL параллелограмының қабырғаларымен қиылып алынған үшбұрыштардың аудандарының қосындысы - ға тең. Олай болса .

11 есеп. Ауданы S болатын сүйір бұрышты үшбұрыштың әрбір қабырғасының ортасынан оның өзге екі қабырғасына перпендикулярлар жүргізілген. Осы перпендикулярлармен шектелген алтыбұрыштың ауданын тап.
Шешуі: А1,В1 және С1 нүктелері АВС үшбұрышының сәйкесінше ВС, АС, және АВ қабырғаларының ортасы болсын, ал Н1, Н2 және Н3 нүктелері есеп шартында көрсетілген перпендикулярлардың қос-қостан қиылысу нүктесі болсын.
АВС үшбұрышы сүйір бұрышты болғандықтан, бұл нүктелер үшбұрыштың ішінде жатады. (11 сурет).
А1В1, В1С1, С1А1 орта сызықтары берілген үшбұрышты тең төрт үшбұрышқа бөледі. Осыдан А1В1С1 үшбұрышының ауданы екені шығады. Сонымен қатар А1Н1В1, В1Н2С1 және С1Н3А1 үшбұрыштарынан ауданы ке тең А1СВ1 үшбұрышын алуға болады.
А1Н1В1Н2С1Н3 алтыбұрышының ауданы қарастырылған төрт үшбұрыш ауданының қосындысына, яғни -ке тең екендігі шығады.
Қарастырылған стандартты емес планиметрия есептерін математика пәнін тереңдетіп оқитын және олимпиадаға дайындалатын оқушылар басшылыққа алуға болады.