Позициялық және позициялық емес санау жүйесі. Сандар тарихы

Сабақтың тақырыбы: Позициялық және позициялық емес санау жүйесі. Сандар тарихы
Сабақтың мақсаты:
1. Санау жүйесіне, екілік арифметиканың ережелерін үйрету және есептер шығарту;
2. Компьютердің арифметикалық негізін дамыта оқыту;
3. Оқушыларды белсенділікке, дәлдікке үйрету.
Білім мен біліктілікке қойылатын талап:
- Оқушылар санау жүйесі мен арифметикалық операциялардың ережелерін білуі тиіс;
- Бір санау жүйеден екінші санау жүйесіне сандарды аударуды үйренуі тиіс.
Бағдармалық – дидактикалық қамсыздандыру: интерактивті тақта, электрондық оқулық, инженерлік калькулятор, жұмыс дәптері.
Пәнаралық байланыс: математика, тарих
Сабақтың барысы:

І. Ұйымдастыру кезеңі.
- Оқушылармен амандасу;
- Есептеуіш техника кабинетінде қауіпсіздік ережесін қолдануды талап ету;
- Оқушылардың сабаққа даярлығын тексеру.
- Оқушылардың зейінін сабаққа аудару

ІІ. Жаңа сабақ. Жаңа сабақтың мақсаты:
а) Сан туралы қысқаша мағлұмат беру;
ә) Санау жүйесі мен арифметикалық негізге анықтама беру;
б) Бір санау жүйесінен екінші санау жүйесіне көшудің анықтамасын беру және есептер шығарту.
Сандар математикадағы сияқты информатикада да басты негіз. Бірақ математикада сандарды өңдеуге көп көңіл бөлген болса, ал информатикада сандарды ұсыну әдісі ғана емес, сонымен қатар жадының қажетті қорын, жылдамдықты, есептеуде жіберетін қатені анықтайды.

Санды көрсету үшін қолданылатын белгілер және ережелер жиынын санау жүйесі деп атайды. Қысқаша айтқанда, санау жүйесі деп сандардың аталу және жазылу әдісін айтады.
Санау жүйесі екіге бөлінеді: позициялық және позициялық емес.

Позициялық санау жүйесіндегі сандардың мағынасы, оның орналасқан позициясына қарай өзгереді. Мысалы, 555, 5 қандай позицияда тұруына байланысты бұл санның мағынасы өзгеруде.
Позициялық емес санау жүйесіндегі сандардың тұрған орны, оның мағынасын өзгертпейді.
Мысалы, ХХХ санында Х – ондық санның белгісі және оның мағынасы тұрған орнына байланысты емес.

Компьютерде позициялық санау жүйесін ғана қолданылады, себебі бұл жүйеде санды жазу басқа жүйеге қарағанда өте жинақы және есептеуге ыңғайлы.
Тарих бойынша ондық сандық жүйе ең көп тараған жүйе болса да, онымен қатар көптеген сандық жүйе осы күнге дейін адам өмірінде қолданып келеді.
Негізінде кез – келген сандық жүйе құруға болады. Сандық жүйенің негізін ретінде кез – келген бүтін санды алуға болады. Мысалы, 2 бүтін санды – екілік санау жүйесі деп, 3 бүтін санды – үштік санау жүйесі деп және т. б. сандарды алуға болады.

Екілік санау жүйесін 1850 жылы ағылшын математигі Дж Буль ойлап тапқан. Бұл жүйе екі санмен: 0 және 1 өрнектеледі. Бұл жүйенің түбірі 2 саны.
Осы екілік жүйеде әр түрлі арифметикалық операцияны орындау үшін мына ережелерді білуі тиіс.
ҚОСУ ЕРЕЖЕСІ
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
АЛУ ЕРЕЖЕСІ
0 – 0 = 0
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0
10 – 1 = 1
КӨБЕЙТУ ЕРЕЖЕСІ
0 х 0 = 0
0 х 1 = 0
1 х 0 = 0
1 х 1 = 1

Сегіздік санау жүйесі, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 сандарынан тұрады, негізі 8 саны болады.
Ондық санау жүйесі, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 сандардан тұрады, негізі 10 саны болады
Оналтылық санау жүйесі 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A., B, C, D, E, F сандарынан тұрады. Бұл санау жүйенің басқа санау жүйеден ерекшелігі, 0 ден бастап 9 ға дейінгі позициялық сандар қолданып, ал 10, 11, 12, 13, 14, 15 позициялық сандарының орнына латын алфавитінің бас әріптерін қолданылады.

Бір санау жүйеден екінші санау жүйесіне көшу
Ондық санау жүйесін екілік, сегіздік, оналтылық санау жүйесіне көшіру үшін мына ережелерді қолданамыз:
а) Бүтін санды көшіру ережесі.
Ондық санды жүйені басқа санды жүйеге көшу үшін, оны жаңа жүйенің түбіріне рет – ретімен бөліп, қалған қалдықтарды ақырғысымен қоса,
алынған тәртібіне керсінше жазу керек. Мысалы, 2510 - 11012
б) Бөлшек санды басқа жүйеге көшу үшін санның бөлшегін жаңа жүйенің түбіріне көбейтеді. Көшіру процесі үтірден кейін қанша разрядтқа дейін жүргізілу керек болса, сонша разрядтқа дейін жүргізіледі. Мысалы, 0, 312510 – 0, 1012
в) Аралас бөлшекті санды басқа жүйеге көшіру үшін ең бірінші бүтін санды, сонан кейін бөлшек санды, жоғарыда көрсетілген ереже бойынша жаңа жүйеге көшіреді де, содан кейін екеуін біріктіріп жазады. Мысалы, 25, 510 – 11001, 12
Екілік, сегіздік, оналтылық санау жүйесін ондық санау жүйесіне көшіру үшін мына формуланы қолданамыз:
Nq=knqn+kn - 1qn - 1+ …+ k1q1 +k0q0+…,
Мұндағы:
Nq - q сандық жүйеде тұрған сан
q – жүйенің негізі
n – разрядтың нөмірі
kn – қарастырылып отырған разрядтың бірлік санына тең коэффициент
Мысалы,
3 2 1 0
10112=1х23+0х22+1х21+1х20= 8+0+2+1=1110

1 0 - 1
12, 78= 1х81+2х80+7х8 - 1=8+1+0, 875=9, 87510

1 0
2А16=2х161+10х160=32+10=4210

ІІІ. Сабақты бекіту. Тест
- Электрондық оқулықтағы « Санау жүйесі» тақырыбындағы тапсырмаларды орындау;
1. тапсырма
Санның негізін дәрежесінің қосындысы түрінде ұсыныңыздар:
а) 3678, 89810 = 3*103+6*102+7*101+8*100+8*10 - 1+9*10 - 2+8*10 - 3
б) 7, 2908310=7*100+2*10 - 1+9*10 - 2+0*10 - 3+8*10 - 4+3*10 - 5
в) 37000, 0001=3*104+7*103+1*10 - 4
г) 0, 0037=3*10 - 3+7*10 - 4
2. тапсырма
№ 1
Санның негізін дәрежесінің қосындысы ретінде ұсыныңыздар:
а) 1001, 012 =1*23+1*20+1*2 - 2
ә) 1, 100012=1*20+1*2 - 1+1*2 - 5
б) 0, 001012 =1*2 - 3+1*2 - 5
в) 1000, 00012=1*23+1*2 - 4
№ 2
Сандарды екілік санау жүйесінен ондық санау жүйесіне ауыстырыңыз.
а) 101000112 = 163
в) 11010112=107
ә) 110110012 = 217
г) 111012=29
б) 10010012 =73
д) 11101112=119
3 - 4. тапсырма.
Оналтылық және егіздік санау жүйесін ондық санау жүйесіне ауыстырыңыз:
а) 5558 =365
в) 23516=565
ә) 6368=414
г) 7С3116=31793
б) 2378 =159
д) Ғ5416=3924
7 - 8.. тапсырма.
Екілік санау жүйесіндегі арифметикалық операцияларды орында:

0110 1101 11010 1101
+ + - -
0110 0110 01101 0110

1100 11010 1101 111
- Бұл тапсырмаларды оқушылардың өздеріне инженерлік калькулятор арқылы тексерту.
IV. Үйге тапсырма.
67 беттегі № 2, 3, 4 тапсырмалар.
№2 - тапсырма.
Ондық сандарды екілік және оналтылық санау жүйесіне аудару керек.
29, 44, 129, 561, 1322
Жауабы:
19 - 10011 - 13; 44 - 101100 - 2C; 129 - 10000001 - 81; 561 - 1000110001 - 231; 1322 - 10100101010 - 52A
№3 – тапсырма.
Екілік сандарды ондық жүйеге аудару керек.
1001, 10101, 111001, 10111101
Жауабы:
1001 - 9; 10101 – 21; 111001 - 57; 10111101 – 189;
№4 – тапсырма.
Оналтылық санау жүйесін ондық санау жүйесіне аудару керек.
25, 4F, 1А7, АВС, D1AE, FFFF

Жауабы:
25 - 37; 4F – 79; 1A7 – 423; ABC – 2748; D1AE – 53678; FFFF – 65535.

V. Қортынды.
- Біз бүгін санау жүйесі туралы ұғым алдық, соларға есептер шығардық. Кім мына электрондық оқулықтағы сұраққа жауап береді екен? – деп мұғалім оқушыларға мынадай сұрақтар қояды электрондық оқулықтан алып.
Сұрақтар:
1. Санау жүйесі деп нені айтады?
2. Позициялық санау жүйесі позициялық емес санау жүйесінен немен ерекшеленеді?
3. Позициялық санау жүйесінің негізі деп нені айтады?
VI. Бағалау.