Кеңістіктегі түзулердің параллельдігі

Геометрия 10 сынып
1. Сабақтың тақырыбы: Кеңістіктегі түзулердің параллельдігі.
2. Сабақтың мақсаты: Түзулердің кеңістіктегі параллельдігі ұғымымен, олардың қасиеттерімен таныстыру.
3. Сабақтың міндеттері: Түзулердің кеңістіктегі параллельдігі ұғымын есептер шығару барысында қолдана білу. Кеңістікте, абстрактілі ойлау қабілетін дамыту, теорияны іс жүзінде қолдана білу. Тәрбиелеу: Ұқыптылықты, қызығушылықты арттыру.
4. Сабақтың барысы: Өткен тақырыптарды қайталау. Аксиомалардың салдарларын дәлелдеу. Бекіту. Жаңа материал. Есеп шығару
5. Жаңа тақырып. Жазықтықта қиылыспайтын екі түзуді параллель түзулер деп атағанбыз. Енді кеңістіктегі параллель түзулердің анықтамасын берейік.
Анықтама. Кеңістікте бір жазықтықта жататын және өзара қиылыспайтын екі түзу параллель түзулер деп аталады. (10 - сурет).
Түзулердің параллельдігі кеңістікте де жазықтықтағы сияқты белгіленеді: т||п.
Кеңістікте түзулер параллель болуы үшін олардың қиылыспайтын түзулер болуымен қатар бір жазықтықта жатулары да міндетті шарт екенін байқаймыз. Параллель түзулерге тиісті кесінділер де (сәулелер) өзара параллель деп аталады.
Мысалы, ABCDA1B1C1D1 кубының AD және AD1 қырлары өзара параллель (11 - сурет).
Анықтамадан параллель екі түзу арқылы жазықтық жүргізуге болатыны және оның жалғыз екені шығады. Егер а және b параллель түзулері арқылы әртүрлі екі жазықтық жүргізілген десек, онда а түзуі және B түзуінен алынған қайсыбір нүкте арқылы әртүрлі екі жазықтық, жүргізілген болып шығады. Бұл 1 - теоремаға қайшы. Сонымен жазықтықты беру тәсілдерінің тағы бірімен таныстық, ол — жазықтықты параллель екі түзу арқылы беру.
Жазықтықта берілген нүктеден берілген түзуге параллель етіп тек бір ғана түзу жүргізуге болатыны белгілі (параллельдік аксиомасы). Ал кеңістікте ше?

3 - теорема. Берілген түзуден тыс жатқан нүкте арқылы сол түзуге параллель бір ғана түзу жүргізуге болады.
Дәлелдеу. Берілген түзуді а, нүктені В деп белгілейік. а түзуі мен В нүктесі арқылы (1 - теорема бойынша) α жазықтығын жүргізейік (12 - сурет). α жазықтығындағы В нүктесі арқылы а - ға параллель B түзуін жүргіземіз. а - ға параллель өтетін мұндай b түзуінің жалғыз ғана болатынын дәлелдейік.
В нүктесінен өтетін және а түзуіне параллель басқа b1 түзуі бар дейік. Онда а және b1 түзулері арқылы β жазықтығын жүргізуге болады. β жазықтығы а түзуі мен В нүктесі арқылы өтеді, демек,
1 - теорема бойынша ол α жазықтығымен беттеседі. Олай болса параллельдік аксиома бойынша b мен b1 түзулері беттеседі. Теорема дәлелденді.

4 - теорема. Егер екі түзудің әрқайсысы үшінші бір түзуге параллель болса, онда бұл екі түзу өзара параллель болады.
Д ә л е л д е у. b|| а, с||а болсын (13, a - сурет). b мен с түзулері де параллель екенін дәлелдейік. Яғни, анықтамаға сәйкес 1) b мен с бір жазықтықта жататынын; 2) b мен с түзулері қиылыспайтынын дәлелдеуіміз керек.
Түзулер бір жазықтықта жатпайды деп есептейік. α деп a мен b түзулері жатқан жазықтықты, ал β деп a мен с түзулері жатқан жазықтықты белгілейік.
α мен β жазықтықтары әртүрлі (13, ә - сурет). b түзуінің бойынан қандай да бір В нүктесін белгілеп, с түзуі мен В нүктесі арқылы β1 жазықтығын жүргіземіз. Ол α жазықтығын b1 түзуі бойымен қиып өтеді. (13, б - сурет).
b1 түзуі β жазықтығын қимайды. Кері жорып қияды десек, онда қиылысу нүктесі а түзуінде жатуға тиіс, себебі b1, а түзулері α жазықтығында жатыр. Екінші жағынан, ол нүкте β1, β жазықтықтарына
ортақ болғандықтан, с түзуінің де бойында жатуы тиіс (себебі, алуымыз бойынша, с түзуі β1, β жазықтықтарына ортақ түзу). Ол мүмкін емес, өйткені шарт бойынша, a және с түзулері өзара параллель. Демек, b1 түзуі β жазықтығымен қиылыспайды. b1 түзуі α жазықтығында жатады және a түзуін қимайды, ол а - ға параллель, демек, ол параллельдер аксиомасы бойынша b түзуімен беттеседі. Сонымен b түзуі b1 түзуімен беттесе отырып, с түзуімен бір жазықтықта (β1 жазықтығында) жатады және оны қимайды. Демек, b және с түзулері өзара параллель. Теорема дәлелденді.

М ы с а л. Әрбір үшеуі бір жазықтықта жатпайтын және қос - қостан параллель 1) үш; 2) төрт; 3) п түзулердің әртүрлі жұптары арқылы қанша жазықтық жүргізуге болады?

Шешуі. Параллель түзулердің әрбір жұбы арқылы жазықтық жүргізуге болады. Демек, бір жазықтықта жатпайтын параллель үш түзу берілсе, онда олардың жұптары арқылы 3 жазықтық жүргізуге, егер 4 түзу берілсе, олардың жұптары арқылы 6 жазықтық жүргізуге, ал егер п түзу берілсе, олардың әрқайсысы арқылы п - 1 жазықтық жүргізуге болады. Жалпы жағдайда әрбір жазықтың екі реттен алынғандықтан, әрбір жұп арқылы (n(n - 1))/2 жазықтық жүргізе аламыз.

Бекіту сұрақтары: 1. Жазықтықтағы және кеңістіктегі паралелль түзулерге не ортақ, ерекшелігі неде?
Бір түзуге параллель 3, 4,... п түзулер өзара параллель болады деп тұжырымдауға бола ма? Жауабын түсіндіріп беріңдер.
Жаттығулар
1. А нүктесі арқылы өтетін а түзуіне параллель болатын түзуді қалай жүргізуге болады?
2. ABCDA1B1C1D1 кубы берілген (8 - сурет). Параллельдік таңбасын пайдаланып, кубтың параллель қырларының жұптарын жазыңдар.
3. а || b, ал b≠c. a және с түзулері параллель болмайтынын дәлелдеңдер.
23. Үй жұмысы
24. Бағалау
Кеңістіктегі түзулердің параллельдігі жүктеу